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もーりーの整理帳

もーりーのいろいろ

2012 韓国数学オリンピック

【問題】

$2^mp^2+1=q^5$

を満たす正の整数 $m$ と素数 $p,q$ を全て求めよ。

(2012韓国数学オリンピック)

【解答】

以下整数 $x,y$ について $x|y$ で $x$ が $y$ を割り切ることを表します.

$p=2$ と $q=2$ の場合解はないので $p,q$ は奇素数とします.

$2^mp^2=q^5-1=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$

であり,

$u=\gcd\bigl(q-1,\displaystyle\sum_{0\leq{k}\leq4}q^k\bigr)$

とおけば,

$\displaystyle\sum_{0\leq{k}\leq4}q^k=\displaystyle\sum_{0\leq{k}\leq4}(q^k-1)+5)$

から $u|5$ が分かります.

case1: $u=1$ のとき

$\gcd(2^m,p^2)=1$ だから

$q-1=2^m,q^4+q^3+q^2+q+1=p^2$

です. しかし $3\leq{m}$ で $q\equiv{1}\pmod{8}$ から

$p^2=\displaystyle\sum_{0{\leq}k{\leq}4}q^k\equiv{5}\pmod{8}$

となり不可能です. ( $\bmod{8}$ の平方剰余)

従って $m=1,2$ の場合を検証すればいい訳ですが, $m=1$ のときに $(m,p,q)=(1,11,3)$ という解が分かります.

case2: $u=5$ のとき.

$\bmod{5}$ をみると $p=5$ .従って

$q^4+q^3+q^2+q+1=25$

だが $q\geq{3}$ からこれを満たす $q$ は存在しない.

以上より解は $(m,p,q)=(1,11,3)$ のみ.

この回答は私の考えた回答であり公式のものではありません.誤字脱字,数学的誤り等に関してはtwitter( @forest_1004 )までDMもしくはリプライでお願いします.こんな回答あります,というのもお待ちしています！