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もーりーの整理帳

もーりーのいろいろ

放課後に高校で聞いて面白かったやつ(出典はたしかAIME(？))

僕が知り合いから今日の放課後聞いた問題です。予選レベルですが気に入ったので。

【問】

$\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}$

の値を求めよ.

【解答】

与式の値を $A$ とおく.

とりあえず $324$ を因数分解すると $18^2$ になることが分かります.あとは分子分母が打ち消し合うような式ができれば完璧ですね.

$n\geq 4$ について

$n^4+18^2=(n^2+18)^2-36n^2$

から二乗の差の式が出ます.あとは計算して

$n^4+18^2=(n^2-6n+18)(n^2+6n+18)=\Bigl((n-3)^2+9\Bigr)\Bigl((n+3)^2+9\Bigr)$

となりこれを元の式に適応して

$A=\frac{(7^2+9)(13^2+9)(19^2+9)(25^2+9)(31^2+9)(37^2+9)(43^2+9)(49^2+9)(55^2+9)(61^2+9)}{(1^2+9)(7^2+9)(13^2+9)(19^2+9)(25^2+9)(31^2+9)(37^2+9)(43^2+9)(49^2+9)(55^2+9)}$

望み通り分子分母が相殺して $A=373$ となる.

(※公式の解答ではなく私の考えたものです!)

こういうズバズバ消える数オリ予選系の問題は解いていて気持ちが良くて好きです。6の差がこういう形で回るんですね(僕の解くときの見通しが悪いだけ？)。

余談ですがそろそろJMO予選が近いですね(18/9/13)…ちゃんと対策をしないと…

2012 韓国数学オリンピック

【問題】

$2^mp^2+1=q^5$

を満たす正の整数 $m$ と素数 $p,q$ を全て求めよ。

(2012韓国数学オリンピック)

【解答】

以下整数 $x,y$ について $x|y$ で $x$ が $y$ を割り切ることを表します.

$p=2$ と $q=2$ の場合解はないので $p,q$ は奇素数とします.

$2^mp^2=q^5-1=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$

であり,

$u=\gcd\bigl(q-1,\displaystyle\sum_{0\leq{k}\leq4}q^k\bigr)$

とおけば,

$\displaystyle\sum_{0\leq{k}\leq4}q^k=\displaystyle\sum_{0\leq{k}\leq4}(q^k-1)+5)$

から $u|5$ が分かります.

case1: $u=1$ のとき

$\gcd(2^m,p^2)=1$ だから

$q-1=2^m,q^4+q^3+q^2+q+1=p^2$

です. しかし $3\leq{m}$ で $q\equiv{1}\pmod{8}$ から

$p^2=\displaystyle\sum_{0{\leq}k{\leq}4}q^k\equiv{5}\pmod{8}$

となり不可能です. ( $\bmod{8}$ の平方剰余)

従って $m=1,2$ の場合を検証すればいい訳ですが, $m=1$ のときに $(m,p,q)=(1,11,3)$ という解が分かります.

case2: $u=5$ のとき.

$\bmod{5}$ をみると $p=5$ .従って

$q^4+q^3+q^2+q+1=25$

だが $q\geq{3}$ からこれを満たす $q$ は存在しない.

以上より解は $(m,p,q)=(1,11,3)$ のみ.

この回答は私の考えた回答であり公式のものではありません.誤字脱字,数学的誤り等に関してはtwitter( @forest_1004 )までDMもしくはリプライでお願いします.こんな回答あります,というのもお待ちしています！